При каких целых значениях n функция
cos nx sin 5/n х
имеет период 3π *)?
*) Функция f (х) называется периодической, если существует число Т =/= 0 такое, что для всех допустимых значений х выполнено равенство f(x + T) = f (x). Число Т при этом называется периодом функции.
Если п - целое число, удовлетворяющее условию задачи, то при всех х имеем:cos п (х + 3π) • sin 5/n (х + 3π) = cos nx • sin 5/n х. (1)
Полагая, в частности, х = 0, мы из (1) заключаем, что п должно удовлетворять уравнению sin 15π/n = 0. Этому уравнению удовлетворяют только те целые числа, которые являются делителями числа 15.
n = ±1, ±3, ±5, ±15. (2)
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что при каждом из этих значений функция cos nx • sin 5/n х имеет период 3π. Формулой (2) исчерпываются все искомые значения n.
Похожие примеры: