В конус вписан шар радиуса r. Найти объем конуса, если известно, что плоскость, касающаяся шара и перпендикулярная к одной из образующих конуса, отстоит от вершины конуса на расстоянии d.

Можно провести две плоскости, перпендикулярные к данной образующей конуса (СА на рис.) и касающиеся вписанного шара; их точки касания (N и N₁) лежат на диаметре NN₁ параллельном СА.

Положим сначала, что берется плоскость ND, касающаяся шарa в точке N. Четырехугольник ONDK (К - точка касания образующей СА с шаром) - квадрат, так что DK=ON= r. По условию CD = d. Следовательно, CK= d + r. Из треугольника КОС находим

СО = √(d + r)² + r².

Следовательно,

Н = CF = OF + ОС = r + √(d + r)² + r² .

Из подобия треугольников AFC и KОС находим

AF : Н = ОК : КС,

откуда