В правильную четырехугольную пирамиду вписан полушар так, что его плоская грань параллельна основанию пирамиды, а шаровая поверхность касается его. Определить полную поверхность пирамиды, если боковые ее грани образуют с основанием угол αи радиус шара равен r.

Центр О экватора полушара (т. е. круга, ограничивающего полушар; рис.) лежит па высоте SO₁ пирамиды.

Так как

OM = OO₁ = r ,

то точка М лежит на биссектрисе О₁М угла ОО₁М₁. Отметив точку М как пересечение O₁М с SF, изображаем сечение KLMN, параллельное основанию. Середины К, L, М, N сторон сечения являются точками касания экватора с боковыми гранями. Полукруг КО₁М есть сечение полушара плоскостью ESF.

Решение. Сторона основания а равна

a = EF = 2 • O₁F = 2 (O₁M₁+M₁F).

Но O₁M₁ = OM = r, a M₁F = MM₁ • ctg α = r ctg α. Значит,

a = 2r (1+ctg α).

Имеем

Здесь S_ocн. = а² = 4r² (1+ctg α)² .