В правильную четырехугольную пирамиду вписан полушар так, что плоская грань его лежит на основании пирамиды, а шаровая поверхность касается боковых граней пирамиды. Найти отношение полной поверхности полушара к полной поверхности пирамиды и объем полушара, если боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α и разность между стороной основания и диаметром шара равна m.

Плоскость ESF (рис.) даст в пересечении с полушаром полукруг NPM, касающийся апофем пирамиды (в точках Q и G).

Если обозначим сторону основания пирамиды через а, а радиус полушара - через r, то полная поверхность полушара S₁ будет

S₁ = 2πr² + πr² = 3πr²

и полная поверхность пирамиды

их отношение

Из \(\Delta\)OGF имеем OG = OF• sin α, т. е. r = ^a/₂ sin α. Это выражение подставим в предыдущее равенство.

Для вычисления объема полушара V найдем r из условия а - 2r = m и ранее найденного равенства r = ^a/₂ sin α. Получим