Боковые грани правильной четырехугольной пирамиды наклонены к основанию под углом α. Апофема пирамиды равна m. Найти полную поверхность конуса, вписанного в пирамиду, а также угол наклона бокового ребра к основанию.

Из треугольника ОМЕ (рис.) имеем

ОМ = r = m cos α; ЕО = Н = m sin α.

По формуле S_п. = πr (r + l ). где l = m, находим

S_п. = πm² cos α (1 + cos α)

или

S_п. = 2πm² cos α cos^{2 α}/₂

Угол φ = ∠ ЕВО, под которым боковое ребро BE наклонено к основанию, определяем из треугольника ЕВО, где ОВ = ОМ√2 = m √2 cos α. Имеем