В конус, радиус основания которого равен R и образующие наклонены к основанию под углом ^α/₂, вписана прямая треугольная призма так, что ее нижнее основание лежит на основании конуса, а вершины верхнего — на боковой поверхности конуса. Определить боковую поверхность призмы, если в основании призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом α, а высота призмы равна радиусу сечения конуса плоскостью, проходящей через верхнее основание призмы.

Если радиус O₁A₁ (рис.) обозначить через r, то высота А₁М призмы тоже равна r , а из треугольника A₁B₁C₁, где A₁B₁ = 2r, имеем

A₁C₁ = 2r cos α и B₁C₁ = 2r sin α.

Величину r найдем из треугольника АА₁М, где AM = R - r. Имеем R- r = r ctg ^α/₂ .

Отсюда

Теперь находим боковую поверхность призмы: