Две окружности радиусов R и r находятся в положении внешнего касания. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная, и в образовавшийся при этом криволинейный треугольник вписана окружность. Найти ее радиус.

Обозначим радиус искомой окружности через х. Проведем через ее центр О₃ (рис.) прямую MN || AB.

Так как прямая АВ перпендикулярна к радиусам O₁A, О₂В и O₃D, то AM = BN = x и, значит, O₁M = R- х и O₂N = r - х. Кроме того, имеем O₁O₃ = R + x и O₂O₃ = r + x. Следовательно,

МО₃ = √(R + x)² - (R - x)² = 2√Rx ,

точно так же

NO₃ = 2√rx .

А так как MN = 2 √Rr (см. задачу 317), то

2√Rx + 2√rx = 2√Rr,

откуда