Через середины двух параллельных ребер куба, не лежащих на одной грани, проведена прямая, и куб повернут вокруг нее на 90°. Определить объем общей части исходного куба и повернутого, зная, что ребро куба имеет длину а.

Разрежем куб пополам диагональной плоскостью, перпендикулярной к оси вращения, и получившийся многогранник повернем на 90°. В результате возникнет изображенная на рисунке конфигурация:

Общая часть складывается из прямоугольного параллелепипеда ABCDD₁A₁B₁C₁ и правильной пирамиды SABCD. Высоту параллелепипеда находим из \(\Delta\)ВВ₁T:

Высота пирамиды

Площадь общего основания параллелепипеда и пирамиды равна a²

Таким образом, искомый объем общей части равен