На сторонах треугольника ABC построены равносторонние треугольники ABC₁, BCA₁, CAB₁, не перекрывающиеся с \(\Delta\)ABC. Доказать, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Пусть О — точка пересечения прямых AA₁ и СС₁.

Задача будет решена, если будет доказано, что

∠АОВ + ∠АОВ₁ = 180°. (1)

Заметим, что \(\Delta\)С₁ВС = \(\Delta\)ABA₁, так как
С₁B = АВ, ВС = ВА₁ и ∠С₁ВС = 60° + ∠AВС = ∠ABA₁

Поэтому ∠ОС₁В = ∠ОАВ и четырехугольник ОАС₁В вписан в некоторую окружность. Следовательно, ∠АОВ = 120°. Аналогично покажем, что ∠BOC = 120°.

Но тогда и ∠AОС = 120°, откуда следует, что четырехугольник AOCB₁ вписан в некоторую окружность. Но отсюда следует, что ∠AOB₁ = ∠ACB₁ = 60°. Поэтому (1) верно.