Два треугольника ABC и А₁В₁С₁ расположены симметрично друг другу относительно центра их общего вписанного круга радиуса r . Доказать, что произведение площадей ABC, А₁В₁С₁ и шести треугольников, получившихся при пересечении сторон \(\Delta\)ABC и \(\Delta\)А₁В₁С₁, равно r ¹⁶.

Симметрия в расположении ABC и A₁B₁C₁ относительно центра вписанного круга О означает, что соответствующие точки \(\Delta\)ABC и \(\Delta\)А₁В₁С₁ лежат на одной прямой с О и находятся на равном расстоянии от О.

В частности, ОС = ОС₁, ОВ = ОВ₁ и ВСВ₁С₁ — параллелограмм; значит, ВС = В₁С₁. Аналогично АС = А₁С₁, АВ = A₁B₁ и \(\Delta\)ABC= \(\Delta\)А₁В₁С₁.
Рассматривая параллелограммы АВА₁В₁, BDB₁D₁, ACA₁C₁ и ECE₁C₁, находим, что AD = A₁D₁, АЕ = А₁Е₁, а так как ∠A = ∠А₁ то \(\Delta\)ADE = \(\Delta\)A₁D₁E₁.
Аналогично \(\Delta\)B₁EK₁ = \(\Delta\)BE₁K и \(\Delta\)DС₁K = \(\Delta\)D₁СK₁

Введем обозначения:

S — площадь \(\Delta\)ABC,
S₁ — площадь \(\Delta\)ADE,
S₂ — площадь \(\Delta\)DC₁K,
S₃ — площадь \(\Delta\)KВЕ₁,

АВ = с, ВС = а, АС = b,

h_A, h_B, h_C — высоты, опущенные из вершин А, В, С. Тогда

Пусть AM — высота в \(\Delta\)ADE, AN — высота в \(\Delta\)ABC; тогда

Из подобия треугольников ABC и ADE находим:

Следовательно,

Используя формулу Герона, получаем: