В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁ основания которых соединены между собой. Определить отношение площади треугольника А₁В₁С₁ к площади треугольника ABC, если углы треугольника ABC известны.

Сначала предположим, что \(\Delta\)ABC остроугольный (рис.).

Подставив эти выражения в (1), после очевидных преобразований получим:

(2)

Если \(\Delta\)ABC тупоугольный (рис.),

то вместо (1) будем иметь:

и, соответственно, вместо (2)

(3)

Наконец, если \(\Delta\)ABC прямоугольный, то , что, как легко проверить, получается также из формул (2) или (3).