Так как sin 5х = sin 3х cos 2х + cos 3х sin 2х, тo используя формулы, найдем после несложных вычислений

sin5x = 5sin x -20 sin³ x + 16 sin⁵ x. (1)

Полагая в формуле (1) х = 36°, получим уравнение 16t⁵ -20t³ + 5t = 0 для определения sin 36°. Это уравнение имеет следующие корни

$$ t_1=0, t_2=+\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{8}}, t_3= -\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{8}} \\ t_4=+\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{8}} и t_5=-\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{8}} $$

Из них положительными являются корни t₂ и t₄ Но sin 36° =/= t₂, ибо

\( \frac{5+\sqrt5}{8} > \frac{1}{2} \) и, следовательно, t₂ > ¹/_√2 Таким образом,

$$ sin 36° = t_4 = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}} $$