Около шара описан усеченный конус, у которого образующие наклонены к основанию под углом α. Определить полную поверхность этого усеченного конуса, если радиус шара равен r.

См. предыдущую задачу. Имеем Sп. = Sбок. + π (r12 + r22 ) . Из треугольника АОМ (см. рис.) находим

AM = r1 = OMctg α/2 = r ctg α/2 .

Из треугольника DON, где , имеем

DN = r2 = r ctg (90°- α/2) = r tg α/2

Вычисления упростятся, если выражение r12 + r22 преобразовать, так:

r12 + r22 = (r1 + r2)2 - 2r1 r2.

Так как r1 + r2 = l и Sбок. = πl2 (см. предыдущую задачу) и из прямоугольного треугольника AOD имеем AFFD = OF2 или r1 r2 = r2, то

Sп. = πl2 + πl2 - 2πr2 = 2π (l2 - r2).

Сюда подставим