В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с углом αпри основании ВС. Боковая поверхность призмы равна S. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ боковой грани BCC1B1 параллельно высоте AD основания призмы и образующей с плоскостью основания угол β.
Секущую плоскость Р можно провести через любую из двух диагоналей грани BCC1B1(рис.). Проведем ее через диагональ ВС1. По условию Р||AD.
Следовательно, плоскость Р пересечет плоскость основания ABC по прямой ВК, параллельной AD (прямая ВК целиком лежит вне треугольника ABC). Так как грань ВСС1В1 перпендикулярна к AD, то она перпендикулярна и к прямой ВК; значит, ∠ CBC1 есть линейный угол двугранного угла β при ребре ВК.
Изобразим теперь треугольник, являющийся сечением призмы плоскостью Р. Одна сторона этого треугольника (BC1) известна; остается найти противоположную вершину, т. е. пересечение плоскости Р с ребром AA1. Для этого достаточно соединить точку Е, в которой прямая ВК пересекает продолжение ребра АС, с точкой С1. Точка F, где прямая С1Е пересечет ребро АА1 будет искомой вершиной.
Докажем это. Так как точка Е лежит на прямой BE, по которой пересекаются плоскости Р и AВС, то эта точка принадлежит плоскости Р. С другой стороны, точка Е лежит на прямой АС, по которой пересекаются плоскости ACC1A1 и ABC; значит, она принадлежит плоскости ACC1A1 (она находится на продолжении грани ACC1A1). Следовательно, точка Е должна принадлежать линии пересечения плоскостей Р и АСС1А1. Точка С1 по условию тоже принадлежит пересечению тех же плоскостей. Следовательно, плоскости Р и ACC1A1 пересекаются по прямой С1Е, т. е. на этой прямой лежит сторона (C1F) сечения, находящаяся на грани СС1А1А. Значит, точка F, где С1Е пересекается с ребром АА1, есть искомая вершина.
Решение. Так как треугольник ABC есть проекция треугольника FBC1, лежащего в плоскости Р, на плоскость основания, то
где а = AС -боковая сторона равнобедренного треугольника ABC. Выразим а2 через боковую поверхность S.
Имеем
S = (2AC + BC) • CC1
где АС = а, ВС=2а cos α и CC1 = BC • tg β = 2 cos α tg β. Следовательно,
S = 4а2 cos α (1 + cos α) tg β = 8а2 cos α cos2 α/2 tg β.
