Через вершину правильной треугольной пирамиды и середины двух сторон основания проведена плоскость. Определить площадь сечения и объемы частей данной пирамиды, на которые она разделена сечением, зная сторону а ее основания, и угол α, образованный сечением с основанием.

В сечении получаем треугольник DKN (рис.).

Как в задаче 125, докажем, что плоскость AED перпендикулярна к стороне ВС. Значит, она перпендикулярна и к средней линии KN. Следовательно, ∠ DME - линейный угол данного двугранного угла α.

Из треугольника OMD, где ОМ= ¹/₆ АЕ = ¹/₆ • ^a√3/₂, находим

Площадь основания пирамиды DAKN вчетверо меньше площади основания пирамиды DABC, а высота у них общая. Поэтому объем V₁ пирамиды DAKN равен ¹/₄V, где V-объем пирамиды DABC. Следовательно, объем пирамиды DKNBC V₂ = ³/₄ V. Объем V равен

V = ¹/₃ • S_ocн. • H = ¹/₃ • ^√3/₄ a² • .^a√3/₁₂ tg α