Основаниями правильной усеченной пирамиды служат квадраты со сторонами а и b (a > b). Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом α. Определить объем усеченной пирамиды и величину двугранных углов при сторонах оснований.

Усеченная пирамида изображается как в предыдущей задаче. Для изображения линейного угла искомого двугранного угла проводим А₁Е и B₁F (рис.) параллельно OO₁ до пересечения с диагоналями АС и BD.

Проводим прямую EF; она будет параллельна АВ и пересечет ребра AD и ВС в точках М и N. Плоскость MA₁B₁N перпендикулярна к ребру AD, так как она проходит через прямые А₁Е и MN, перпендикулярные к ребру. Следовательно, ∠ EMA₁ = φ есть линейный угол двугранного угла при ребре AD.

Решение. Из трапеции MA₁B₁N получаем

Высоту усеченной пирамиды находим из треугольника АЕА₁ , где

Объем находим по формуле V = ^H/₃ (а² + аb + b²). Искомый угол φ = ∠ EMA₁ находим из треугольника A₁ME, где (из трапеции MNB₁A₁). Имеем