Четыре шара, центры которых не лежат в одной плоскости, касаются попарно друг друга. Каждые два из них определяют плоскость, перпендикулярную к их линии центров и касающуюся обоих шаров. Доказать, что возникающие таким образом шесть плоскостей имеют общую точку.

Обозначим через О1, О2, О3, О4 центры данных шаров и через Pik - общую касательную плоскость для шаров с центрами Оi и Ok (i < k). Таких плоскостей всего шесть: Р12, Р13, Р23, P14 , P24, P34.

Сначала докажем, что плоскости Р12, Р13 и Р23 пересекаются по одной прямой. Действительно, каждая из этих плоскостей перпендикулярна к плоскости О1О2О3, так как она перпендикулярна к линии центров разделяемых ею шаров, лежащей в этой плоскости.

Кроме того, легко видеть, что рассматриваемые плоскости (рис.) проходят через точку Q4 пересечения биссектрис \(\Delta\)О1О2О3. Таким образом, плоскости Р12, Р13 и Р23 действительно пересекаются по некоторой прямой, которая, как мы попутно установили, перпендикулярна к плоскости центров О1О2О3 и проходит через центр вписанной в треугольник О1О2О3 окружности. Обозначим эту прямую через L4.

Совершенно так же доказывается, что плоскости Р23 , Р14 и Р34 определяют общую им прямую L1, перпендикулярную к плоскости треугольника О2О3О4 и проходящую через центр вписанной в него окружности п т. д.

В результате мы приходим к следующей задаче (рис.): в каждую грань треугольной пирамиды О1О2О3О4 вписана окружность и через ее центр проведен перпендикуляр к грани. Нужно доказать, что все четыре перпендикуляра L1, L2, L3 и L4 имеют общую точку, если известно, что точки касания двух окружностей с одним и тем же ребром совпадают.

Этот факт почти очевиден. Обозначим через О точку пересечения прямых L1 и L4; последние пересекаются, так как лежат в одной плоскости Р23 и не параллельны. Докажем теперь, что прямые L3 и L2 также проходят через точку О. Действительно, точка О лежит на линии пересечения плоскостей Р12 и Р24, так как прямая L4 принадлежит плоскости Р12, а прямая L1-плоскости Р24. Но линия пересечения Р12 и Р24 есть прямая L3. Следовательно, L3 проходит через точку О. Аналогично показываем, что прямая L2 проходит через точку О.





Похожие примеры: