Даны окружность К радиуса r и ее хорда АВ длиной 2a. Пусть CD - подвижная хорда той же окружности, имеющая постоянную длину 2b. Найти геометрическое место точек пересечения прямых АС и BD

Искомое геометрическое место есть окружность, проходящая через концы хорды АВ и одну из точек M1, получаемых указанным в условии построением.

Доказательство. Предварительно введем некоторые обозначения. Найдется одно и только одно такое положение C1D1 хорды CD, когда C1D1 || AB и когда на данной окружности К можно выбрать такое направление обхода v, при движении в котором концы хорд будут встречаться в последовательности А, В, C1 , D1 (этот выбор может не быть определенным только в случае равенства AB = CD, когда прямые АС и BD параллельны). Обозначим через α ту из дуг АВ данной окружности К, на которой лежат точки С1, D1, через β -другую дугу АВ и через γ -ту из дуг C1D1, на которой нет точек А, В. Далее, обозначим через М1 точку пересечения прямых АС1 и BD1. Точка M1 лежит внутри К. Пусть К1-окружность, описанная около \(\Delta\)АВМ1 (рис. 133). Докажем, что при любом сдвинутом положении хорды CD точка пересечения прямых АС и BD будет находиться на К1

Пока обе точки С, D лежат на дуге α , точка М будет находиться внутри К, а тогда

∠AMB = 1/2(β + γ). (1)

Если же хотя бы одна из точек С, D попадет на дугу β, то точка М будет лежать вне К и тогда

∠AMB = 1/2(α - γ). (2)

В первом случае М лежит на дуге АМ1В окружности К1, так как согласно (1) ∠АМВ не зависит от положения CD и, значит, равен ∠АМ1В. Во втором случае, ввиду того что сумма правых частей (1) и (2) равна

1/2(α + β) = 1/2 • 2π = π,

точка М лежит на внешней относительно К дуге АВ окружности K1.

Очевидно, верно и обратное, т. е. любая точка М окружности K1 может быть получена при надлежащем выборе положения хорды CD.





Похожие примеры: