Определить радиусы двух шаров, которые, пересекаясь, образуют двояковыпуклую линзу, если известны толщина линзы 2а, полная ее поверхность S и диаметр 2R.

Обозначим через r и r1 радиусы шаров и рассмотрим сечение шаров плоскостью, проходящей через их центры О и О1;


пусть АА1 = 2а, KS = R и AS = x; тогда A1S = 2a - x.

Полная поверхность линзы равна

2xar1 + (2a - x)2ar = S. (1)

Из треугольника OKS имеем

r2 = R2 + [r - (2а - x)]2

или

R2 - 2r (2а - x) + (2а - x)2 = 0. (2)

Аналогично из треугольника O1KS имеем r1 = R2 + (r1-х)2 или

R2 - 2r1х + x2 = 0. (3)

Из (2) и (3) находим:

Подставив эти выражения для r и r1 в равенство (1), получим уравнение

π(R2 + х2) + π[R2 + (2а - х)2] = S

или

х2- 2ах + R2 + 2а2 -S/2π= 0,

откуда

Подставив это значение х в формулы (4), после упрощений получим:

Выбор другого знака перед корнем в (5) сводится к перемене обозначений r и r1.