Доказать, что прямые, соединяющие последовательно центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма и примыкающих к нему извне, образуют также квадрат.

Пусть О1, О2, О3, О4 — центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма ABCD.


Имеем:

\(\Delta\)О1ВО2 = \(\Delta\)О3СО2,

так как О1В= О3С, ВО2 = СО2 и ∠О1ВО2 = ∠MBN + π/2= ∠DCB + π/2 = ∠О3СО2

Следовательно,

О1О2 = О3О2 и ∠О1О2О3 = ∠О1О2В + ∠BO2C — ∠О3О2C = ∠BO2C = π/2

Аналогично доказывается, что О2О3 = О3О4 = О4О1 и

∠О2О3О4 = ∠ О3О4О1 = ∠О4О1О2 = π/2.

Следовательно, О1О2О3О4 — квадрат.