Доказать, что в любом остроугольном треугольнике k_a + k_b + k_c = r + R, где k_a, k_b, k_c - перпендикуляры, опущенные из центра описанной окружности на соответствующие стороны; r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей.

Указание. Можно выразить левую и правую части искомого равенства через стороны и углы треугольника.

Пусть А, В, С — углы треугольника, а, b, с — противолежащие им стороны и Р = a + b + c . Требуемое соотношение следует из равенств

ak_a + bk_b + ck_c = Pr, (1)

(b + c)k_a + (c + a)k_b + (a + b)k_c = PR, (2)

сложив которые, получим

k_a + k_b + k_c = r + R.

Равенство (1) верно в силу того, что его левая и правая части равны удвоенной площади треугольника. Для доказательства (2) заметим, что

k_a = R cos A, k_b = R cos B, k_c= R cos C (3)

и что

b cos С + с cos В = a,
с cos A + a cos С = b,
a cos В + bcos A = с,

откуда почленным сложением получим равенство

(b + c) cos A + (с + а) cos B + (a + b) cos C = P

которое после умножения на R и использования (3) совпадает с (2).