Выразить диагонали вписанного четырехугольника через его стороны. Получить отсюда теорему Птолемея: произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Обозначив через а, b, с, d длины сторон и через m, n.— длины диагоналей четырехугольника (рис.), по теореме косинусов имеем:

n2 = a2 + d 2—2ad cos φ ,

n2 = b2 + c2 + 2bc cos φ.


Отсюда

(bc + ad) n2 = (a2 + d 2)bc + (b2 + c2) ad = (ab + cd)(ac + bd).

Следовательно,

Перемножив эти равенства, получим теорему Птолемея:

mn = ac + bd.





Похожие примеры: