Внутрь острого угла вписываются круги, касающиеся друг друга. Показать, что радиусы этих кругов образуют геометрическую прогрессию. Найти зависимость между знаменателем прогрессии и величиной острого угла.

Пусть О — вершина острого угла α и О_k—центр й-го круга (рис.).

Тогда

r_k = OО_k sin ^α/₂, r_k+1 = (OО_k— r_k — r_k+1) sin ^α/₂

и

r_k+1 = r_k — r_k sin ^α/₂— r_k+1 sin ^α/₂.

Следовательно,

т. е. радиусы кругов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем