Внутрь правильного n-угольника со стороной а вписано п равных кругов так, что каждый круг касается двух смежных сторон многоугольника и двух других кругов, Найти площадь «звездочки», образующейся в центре многоугольника.

Соединив центры кругов, получим многоугольник, подобный данному. Центр полученного многоугольника совпадает с центром данного и стороны его соответственно параллельны сторонам данного (рис.).


Пусть r — общий радиус рассматриваемых кругов. Тогда сторона построенного нами многоугольника равна 2r , а его площадь

б = nr2 ctg π/n

Пусть, далее, — внутренний угол многоугольника. Для

искомой площади S «звездочки» мы получаем выражение

Легко далее видеть (см. рис.), что

a/2 r = r tg π/n

а откуда и, следовательно,