Многогранные углы

Определения. Возьмём несколько углов (черт. 37): ASB, BSC, CSD, которые, примыкая последовательно один к другому, расположены в одной плоскости вокруг общей вершины S.

Повернём плоскость угла ASВ вокруг общей стороны SB так, чтобы эта плоскость составила некоторый двугранный угол с плоскостью BSC. Затем, не изменяя получившегося двугранного угла, повернём его вокруг прямой SC так, чтобы плоскость BSC составила некоторый двугранный угол с плоскостью CSD. Продолжим такое последовательное вращение вокруг каждой общей стороны. Если при этом последняя сторона SF совместится с первой стороной SA, то образуется фигура (черт. 38), которая называется многогранным углом. Углы ASB, BSC,... называются плоскими углами или гранями, стороны их SA, SB, ... называются рeбрами, а общая вершина S- вершиной многогранного угла.

Каждое ребро является вместе с тем ребром некоторого двугранного угла; поэтому в многогранном угле столько двугранных углов и столько плоских, сколько в нём всех рёбер. Наименьшее число граней в многогранном угле - три; такой угол называется трёхгранным. Могут быть углы четырёхгранные, пятигранные и т. д.

Многогранный угол обозначается или одной буквой S, поставленной у вершины, или же рядом букв SABCDE, из которых первая обозначает вершину, а прочие - рёбра по порядку их расположения.

Многогранный угол называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней, неограниченно продолженной. Таков, например, угол, изображённый на чертеже 38. Наоборот, угол на чертеже 39 нельзя назвать выпуклым, так как он расположен по обе стороны от грани ASB или от грани BSС.

Если все грани многогранного угла пересечём плоскостью, то в сечении образуется многоугольник (abcde). В выпуклом многогранном угле этот многоугольник тоже выпуклый.

Мы будем рассматривать только выпуклые многогранные углы.

Теорема. В трёхгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов.

Пусть в трёхгранном угле SABC (черт. 40) наибольший из плоских углов есть угол ASC.

Отложим на этом угле угол ASD, равный углу ASB, и проведём какую-нибудь прямую АС, пересекающую SD в некоторой точке D. Отложим SB = SD. Соединив В с А и С, получим \(\Delta\)АВС, в котором

AD + DC < АВ + ВС.

Треугольники ASD и ASB равны, так как они содержат по равному углу, заключённому между равными сторонами: следовательно, AD = AB. Поэтому, если в выведенном неравенстве отбросить равные слагаемые AD и АВ, получим, что DC < ВС.

Теперь замечаем, что у треугольников SCD и SCB две стороны одного равны двум сторонам другого, а третьи стороны не равны; в таком случае против большей из этих сторон лежит больший угол; значит,

∠ CSD < ∠ CSВ.

Прибавив к левой части этого неравенства угол ASD, а к правой равный ему угол ASB, получим то неравенство, которое требовалось доказать:

∠ ASC < ∠ CSB + ∠ ASB.

Мы доказали, что даже наибольший плоский угол меньше суммы двух других углов. Значит, теорема доказана.

Следствие. Отнимем от обеих частей последнего неравенства по углу ASB или по углу CSB; получим:

∠ ASC - ∠ ASB < ∠ CSB;

∠ ASC - ∠CSB < ∠ ASB.

Рассматривая эти неравенства справа налево и приняв во внимание, что угол ASC как наибольший из трёх углов больше разности двух других углов, мы приходим к заключению, что в трёхгранном угле каждый плоский угол больше разности двух других углов.

Теорема. В выпуклом многогранном угле сумма всех плоских углов меньше 4d (360°).

Пересечём грани (черт. 41) выпуклого угла SABCDE какой-нибудь плоскостью; от этого в сечении получим выпуклый n-угольник ABCDE.

Применяя теорему, доказанную ранее, к каждому из трёхгранных углов, вершины которых находятся в точках А, В, С, D и Е, пахолим:

∠ABC < ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

Сложим почленно все эти неравенства. Тогда в левой части получим сумму всех углов многоугольника ABCDE, которая равна 2dn - 4d, а в правой - сумму углов треугольников ABS, SBC и т. д., кроме тех углов, которые лежат при вершине S. Обозначив сумму этих последних углов буквой х, мы получим после сложения:

2dn - 4d < 2dn - х.

Так как в разностях 2dn - 4d и 2dn - х уменьшаемые одинаковы, то, чтобы первая разность была меньше второй, необходимо, чтобы вычитаемое 4d было больше вычитаемого х; значит, 4d > х, т. е. х < 4d.

Простейшие случаи равенства трёхгранных углов

Теоремы. Трёхгранные углы равны, если они имеют:

1) по равному двугранному углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами, или

2) по равному плоскому углу, заключённому между двумя соответственно равными и одинаково расположенными двугранными углами.

1) Пусть S и S₁ - два трехгранных угла (черт. 42), у которых ∠ASB = ∠A₁S₁B₁, ∠ASC = ∠A₁S₁C₁ (и эти равные углы одинаково расположены) и двугранный угол AS равен двугранному углу A₁S₁.

Вложим угол S₁ в угол S так, чтобы у них совпали точки S₁ и S, прямые S₁A₁ и SA и плоскости A₁S₁B₁ и ASB. Тогда ребро S₁B₁ пойдет по SB (в силу равенства углов A₁S₁B₁ и ASB), плоскость A₁S₁C₁ пойдёт по ASC (по равенству двугранных углов) и ребро S₁C₁ пойдёт по ребру SC (в силу равенства углов A₁S₁C₁ и ASC). Таким образом, трёхгранные углы совместятся всеми своими рёбрами, т.е. они будут равны.

2) Второй признак, подобно первому, доказывается вложением.

Симметричные многогранные углы

Как известно, вертикальные углы равны, если речь идёт об углах, образованных прямыми или плоскостями. Посмотрим, справедливо ли это утверждение применительно к углам многогранным.

Продолжим (черт. 43) все рёбра угла SABCDE за вершину S, тогда образуется другой многогранный угол SA₁B₁C₁D₁E₁, который можно назвать вертикальным по отношению к первому углу. Нетрудно видеть, что у обоих углов равны соответственно и плоские углы, и двугранные, но те и другие расположены в обратном порядке. Действительно, если мы вообразим наблюдателя, который смотрит извне многогранного угла на его вершину, то рёбра SА, SВ, SС, SD, SЕ будут казаться ему расположенными в направлении против движения часовой стрелки, тогда как, смотря на угол SA₁B₁C₁D₁E₁, он видит рёбра SА₁, SВ₁, ..., расположенными по движению часовой стрелки.

Многогранные углы с соответственно равными плоскими и двугранными углами, но расположенными в обратном порядке вообще не могут совместиться при вложении; значит, они не равны. Такие углы называются симметричными (относительно вершины S). Подробнее о симметрии фигур в пространстве будет сказано ниже.