Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами
1. Углы с соответственно параллельными сторонами.
Возьмём на плоскости две точки С и О и из этих точек проведём две пары лучей СА || ОМ и СВ || ОN так, чтобы углы АСВ и МОN были или оба острые (черт. 211), или оба тупые (черт. 212).
Углы АСВ и МОN - углы с соответственно параллельными cтронами. Докажем, что эти углы равны между собой.
Пусть СВ пересекает ОМ в точке D. ∠АСВ = ∠МDВ, как соответственные углы при параллельных АС и МО и секущей СВ.
∠МDВ = ∠МОN, как соответственные углы при параллельных СВ и ОN и секущей МО, но тогда и ∠АСВ = ∠МОN.
Следовательно, углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
Построим два острых угла АСВ и МОN с соответственно параллельными сторонами (черт. 213): СА || МО и СВ || ОN, и продолжим за вершину О стороны угла МОN.
При вершине О образовались два гупых угла ЕОМ и FОN (так как смежный с ними угол МОN по построению острый).
Каждый из них в сумме с углом МОN составляет 2d, а так как ∠МОN = ∠АСВ, то ∠АСВ+ ∠МОЕ = 2d и ∠АСВ+ ∠FОN = 2d.
Следовательно, углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют 2d, если один из них острый, а другой тупой.
2. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами.
Построим произвольный острый угол АВС. Проведём через вершину угла лучи, перпендикулярные к его сторонам, так, чтобы они образовали острый угол.
BO ВС и ВК ⊥ АВ (черт. 214). Мы получим новый угол OBK. Стороны углов AВС и ОВК взаимно перпендикулярны.
∠АВС = d - ∠СВК; ∠ОВК = d - ∠СВК.
Отсюда следует, что ∠АBС = ∠ОВК.
Построим произвольный тупой угол АОВ и через его вершину проведём лучи, перпендикулярные к его сторонам, так, чтобы они образовали тупой угол.
ОК⊥ОА и ОС⊥ОВ (черт. 215), угол КОС - тупой. Стороны углов АОВ и КОС взаимно перпендикулярны, поэтому
∠АОВ = d + ∠КОВ;
∠КОС = d + ∠КОВ.
Отсюда следует, что ∠АОВ = ∠КОС.
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны между собой, если они оба острые или оба тупые.
Построим произвольный острый угол АОВ и проведём через его вершину перпендикуляры к его сторонам так, чтобы они образовали острый угол (черт. 216).
Получим: ∠КОМ = ∠АОВ. Продолжим сторону ОК за вершину О. Стороны угла ЕОМ перпендикулярны сторонам угла АОВ. При этом ∠ЕОМ - тупой, так как смежный с ним ∠МОК - острый. ∠КОМ + ∠ЕОМ = 2d (как углы смежные). Но ∠КОМ по ранее доказанному равен ∠АОВ. Следовательно, и ∠АОВ + ∠ЕОМ = 2d.
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами в сумме составляют 2d, если один из них острый, а другой тупой.
Мы рассматривали углы, составленные взаимно перпендикулярными сторонами, когда они имели общую вершину. Выведенные нами свойства будут справедливы и в том случае, когда углы не будут иметь общей вершины.
Построим произвольный острый угол АОВ и через какую-нибудь точку С (черт. 217) проведём лучи СЕ⊥ОA и СК⊥ОВ так, чтобы угол КСЕ был тоже острый.
Углы АОВ к КСЕ составлены взаимно перпендикулярными сторонами. Докажем, что они равны между собой. Для этого через точку О (вершину ∠АОВ) проведём ОК’||СК и ОЕ’ || СЕ. ∠КСЕ = ∠КОЕ’, так как они составлены взаимно параллельными сторонами и оба острые. Но ∠К’ОЕ’ = ∠АОВ по доказанному. Следовательно, ∠АОВ = ∠КСЕ.
Если продолжим сторону СЕ за вершину угла, мы получим ∠МСК, смежный с ∠КСЕ.
∠МСК + ∠КСЕ = 2d, но ∠КСЕ = ∠АОВ, Поэтому ∠АОВ + ∠МСК = 2d.