В кубе ABCDA1B1C1D1 на АС взята точка M, а на диагонали BD1 куба взята точка N так, что ∠NMC = 60°, ∠MNB = 45°. В каком отношении точки М и N делят отрезки АС и BD1?
Пусть ребро куба равно 1. Обозначим через O центр грани ABCD. Из того, что ∠NМС = 60° и ∠NOC = 90°, следует, что О - между М и С. Обозначим |ОМ| = х, |NB| = у. Тогда |MN|=2х,|NO|=x√3,|МВ|=√12+x2
Применяя теорему косинусов к треугольникам ΔMNB и ΔONВ, получим
{12+x2=4x2+y2−2xy√23x2=12+y2−2√3yОтсюда найдем: х=1√6,у=2√3
Ответ: |АМ|:|МС| = 2 - √З, |BN|:|ND1| = 2.
Похожие примеры: