В кубе ABCDA1B1C1D1 на АС взята точка M, а на диагонали BD1

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ на АС взята точка M, а на диагонали BD₁ куба взята точка N так, что ∠NMC = 60°, ∠MNB = 45°. В каком отношении точки М и N делят отрезки АС и BD₁?

Пусть ребро куба равно 1. Обозначим через O центр грани ABCD. Из того, что ∠NМС = 60° и ∠NOC = 90°, следует, что О - между М и С. Обозначим |ОМ| = х, |NB| = у. Тогда $|MN| = 2х,\;\; |NO| = x\sqrt3,\;\; |МВ| = \sqrt{\frac{1}{2}+x^2}$

Применяя теорему косинусов к треугольникам ΔMNB и ΔONВ, получим

$\begin{cases}\frac{1}{2}+x^2 = 4x^2+y^2-2xy\sqrt2\\3x^2=\frac{1}{2}+y^2-\frac{2}{\sqrt3}y\end{cases}$

Отсюда найдем: $х = \frac{1}{\sqrt6},\;\; у = \frac{2}{\sqrt3}$

Ответ: |АМ|:|МС| = 2 - √З, |BN|:|ND₁| = 2.

« предыдущий

Похожие примеры:

В кубе ABCDA1B1C1D1 на АС взята точка M, а на диагонали BD1 куба взята точка N так, что ∠NMC = 60°, ∠MNB = 45°. В каком отношении точки М и N делят отрезки АС и BD1?

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ на АС взята точка M, а на диагонали BD₁ куба взята точка N так, что ∠NMC = 60°, ∠MNB = 45°. В каком отношении точки М и N делят отрезки АС и BD₁?