Найти значения тригонометрических функций угла φ, если известно, что он оканчивается в 4-й четверти и tg φ = - 3/4
Используя тождество 1 + tg2 φ = sec2 φ, найдем sec φ:
$$ sec \phi = \sqrt{1+tg^2\phi}=\sqrt{1+(-\frac{3}{4})^2}=\frac{5}{4} $$Знак + перед радикалом мы взяли потому, что угол φ по условию оканчивается в 4-й четверти, sec φ = 1/cosφ , а косинус угла, оканчивающегося в 4-й четверти, положителен; поэтому положителен и sec φ.
Далее получаем: cos φ = 1/secφ = 4/5
Теперь, используя тождество sin2 φ + cos2 φ = 1, найдем sin φ:
$$ sin \phi = - \sqrt{1-cos^2\phi}= -\frac{3}{5} $$Здесь перед радикалом нужно брать знак - , поскольку синус угла, оканчивающегося в 4-й четверти, отрицателен.
Заметим, что в данном случае рациональнее было бы найти sin φ из тождества tg φ = sin φ/cos φ . Однако мы сознательно получили sin φ другим путем, чтобы еще раз показать, как нужно выбирать знак (+ или -) перед радикалом.
Итак, мы получили cos φ, sin φ, tg φ, sec φ. После этого легко найти значения и других тригонометрических функций угла φ:
ctg φ = 1/tg φ = - 4/3; cosec φ = 1/sin φ = - 5/3