Центр круга, вписанного в ромб, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. По условию BD:AC=3:4 откуда ВО:ОС=3:4 т.е. ВО=3х, ОС=4х и по теореме Пифагора для треугольника ВОС находим ВС=5х.

Радиус вписанного в АВСD круга совпадает с высотой ОК треугольника ВОС. Находим ОК, вычисляя двумя различными способами площадь ВОС:

S=0,5·ВС·ОК и S= 0,5·ВО·ОС

откуда ОК=х·12/5. Площадь круга равна \( S_{kp}=\pi r^2=\frac{144}{25}\pi x^2\). Площадь ромба равна \( S_p = 0,5AC\cdot BD=24x^2\). Значит искомое отношение равно:

$$ \frac{S_p}{S_{kp}}=\frac{24x^2}{144\pi x^2}\cdot 25=\frac{25}{6\pi} $$

Ответ: 25/(6π) раз