Центр круга, вписанного в ромб, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. По условию BD:AC=3:4 откуда ВО:ОС=3:4 т.е. ВО=3х, ОС=4х и по теореме Пифагора для треугольника ВОС находим ВС=5х.

Радиус вписанного в АВСD круга совпадает с высотой ОК треугольника ВОС. Находим ОК, вычисляя двумя различными способами площадь ВОС:

S=0,5·ВС·ОК и S= 0,5·ВО·ОС

откуда ОК=х·12/5. Площадь круга равна \(S_{кр} = \pi r^2 = \frac{144}{25}\pi x^2 \). Площадь ромба равна \(S_р = 0,5AC \cdot BD = 24x^2\). Значит искомое отношение равно \( \frac{S_р}{S_{кр}} = \frac{24x^2}{144\pi x^2}\cdot 25 = \frac{25}{6\pi}\).

Ответ: 25/(6π) раз