Даны три плоских угла трехгранного угла SABC: ∠BSC= α; ∠CSA =β; ∠ASB = γ. Найти двугранные углы этого трехгранного угла.

Обозначим двугранные углы при ребрах SA, SB, SC (рис.) через φ_A , φ_B , φ_C.

Проведем через какую-либо точку ребра SC плоскость DFE, перпендикулярную к SF. Тогда ∠DFE = φ_C. Определяем ED² из треугольника EFD и из треугольника ESD, a затем приравниваем полученные выражения. Находим

FE² + FD² - 2 • FE • FD- cos φ_C = SE² + SD² - 2 • SE • SD • cos γ.

Отсюда

2 • FE • FD- cos φ_C = 2 • SE • SD • cos γ - (SE²-FE²) - (SD²- FD²),

т. е.

2 • FE • FD- cos φ_C = 2 • SE • SD • cos γ - 2 • SF².

В это равенство подставляем

FE = SF• tg α ;

FD = SF• tg β;

SE = ^SF/_{cos α}

и

SD = ^SF/_{cos β}

Аналогично найдем соs φ_A и cos φ_B .