В основании призмы АВСА₁В₁С₁ лежит равнобедренный треугольник ABC (AB=AC и ∠ABC = α). Вершина В₁верхнего основания призмы проектируется в центр окружности радиуса r, вписанной в нижнее основание. Через сторону АС основания и вершину В₁ проведена плоскость, наклоненная к плоскости основания под углом α. Найти полную поверхность отсеченной треугольной пирамиды АВСВ₁ и объем призмы.

Плоскость отсекает от призмы пирамиду B₁ABC (рис.), высота которой проходит через центр О окружности, вписанной в основание пирамиды; поэтому все боковые грани ее образуют с плоскостью основания равные углы α ;

следовательно,

(См. задачу 425)

Из \(\Delta\)OCD, где OD = r и ∠ OCD = ^α/₂, находим DC = r ctg ^α/₂.

Из \(\Delta\)ADC находим AD = DC • tg α = r ctg ^α/₂ tg α.

Следовательно,

Полученные выражения можно упростить, представив tg α в виде

Объем призмы

V = S_ocн. • H ,

где H = r tg α (из \(\Delta\)B₁OD).