В круге радиуса R по одну сторону от центра проведены три параллельные между собой хорды, соответственно равные сторонам правильных вписанных в круг шестиугольника, четырехугольника и треугольника. Определить отношение площади той части круга, которая заключена между второй и третьей хордами, к площади той части круга, которая заключена между первой и второй хордами.

По условию (рис.) A₁B₁ = a₆ = R, А₂В₂ = а₄ = R√2 и А₃В₃ = а₃ = R√3 . Высоты треугольников OA₁B₁ , ОА₂В₂ и ОА₃В₃ соответственно равны

OC₁= ^R√3/₂ , OC₂ = ^R√2/₂ , OC₃ = ^R/₂

Отсюда определим площади этих треугольников. Затем найдем площадь сектора OA₁DB₁ он составляет ¹/₆ площади круга; поэтому

SOA₁DB₁ = ¹/₆πR²

Аналогично SOA₂DB₂ = ¹/₄πR² и SOA₃DB₃ = ¹/₃πR².

Вычитая из площади каждого сектора площадь соответствующего треугольника, находим площади сегментов:

S₁ = R² ( ^π/₆ - ^√3/₄ ) ,

S₂ = R² ( ^π/₄ - ¹/₂ ) ,

S₃ = R² ( ^π/₃ - ^√3/₄ ) ,

Площадь части круга, заключенной между хордами А₁В₁ и А₂В₂, равна

площадь круга, заключенная между А₂В₂ и А₃В₃, равна

Ответ: Отношение площадей равно