В треугольной пирамиде проводятся сечения, параллельные двум ее непересекающимся ребрам. Найти сечение с наибольшей площадью.

Четырехугольник MNKL, полученный в сечении пирамиды ABCD, есть параллелограмм, так как LK || CD и MN || CD; следовательно, LK || MN и, аналогично, LM || KN. Если ∠LKN = α, то площадь параллелограмма по известной формуле равна

S = KN • KL sin α.

Так как ∠LKN равен углу между скрещивающимися прямыми АВ и CD, то его синус есть величина постоянная для всех рассматриваемых параллельных сечений. Таким образом, площадь сечения зависит только от величины произведения KN • KL.

Обозначим длину отрезка АК через x. Тогда, в силу подобия треугольников, имеем:

Перемножим эти равенства:

Так как есть величина постоянная, то из предыдущей формулы следует, что интересующее нас произведение KN • KL принимает наибольшее значение вместе с произведением (AD -x) х. Рассматривая это произведение как квадратный трехчлен — x² + ADx и представляя его в виде , убеждаемся в том, что наибольшее его значение достигается при x = ^AD/₂