Формула угла между векторами

Вычисление угла между двумя векторами.

По определению скалярного произведения

аb = | а | • | b | cos\(\widehat{(a; b)}\).

Следовательно, если а =/= 0 и b =/= 0, то

$$ cos\widehat{(a; b)} = \frac{a \cdot b}{|a|\cdot|b|} \;\; (1) $$

т. е. косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.

Пусть в пространстве имеется прямоугольная декартова система координат, и пусть заданы векторы а = (x1 ; y1 ; z1) и b = (x2 ; y2; z2). Тогда, как известно,

$$ a\cdot b = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2, \\ |a|=\sqrt{{x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2}, |b|=\sqrt{{x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2} $$

и поэтому, используя равенство (1), получим формулу

$$ cos\widehat{(a; b)} = \frac{ x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{{x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2}\cdot\sqrt{{x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2} } \;\; (2)$$

Эта формула позволяет вычислить косинус угла между векторами а и b по координатам этих векторов.

Если векторы а = (x1 ; y1 ) и b = (x2 ; y2) заданы в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, то косинус угла между ними вычисляется по формуле

$$ cos\widehat{(a; b)} = \frac{ x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{{x_1}^2 + {y_1}^2}\cdot\sqrt{{x_2}^2 + {y_2}^2}} \;\; (3)$$


Задача 1. Даны два вектора а = (3; 4) и b = (4; 3). Найти угол между ними.

Подставив координаты векторов в формулу (3), получим

$$ cos\widehat{(a; b)} = \frac{3\cdot 4 + 4\cdot 3}{\sqrt{{3}^2 + {4}^2}\cdot\sqrt{{4}^2 + {3}^2}} = \frac{24}{25} $$

откуда (по таблице) \(\widehat{(a; b)}\) ≈ 16°.



Задача 2. Найти косинус угла между векторами

а = 2i + 2j - k, b = i - 2j + 2k .

Используя формулу (2), получим

$$ cos\widehat{(a; b)} = \frac{ 2\cdot 1 + 2\cdot(-2) + (-1)\cdot 2}{\sqrt{{2}^2 + {2}^2 + {-1}^2}\cdot\sqrt{{1}^2 + {-2}^2 + {2}^2}} = -\frac{4}{9} $$


Другие материалы по теме: Векторы

  • Умножение вектора на число
  • Векторы. Основные понятия
  • Сложение и вычитание векторов
  • Коллинеарные вектора
  • Компланарные вектора
  • Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
  • Проекция вектора на ось. Два свойства проекции
  • Свойства скалярного произведения векторов