Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам

Пусть векторы а и b неколлинеарны. Тогда, если числа х и у удовлетворяют условию

ха + уb = 0, (1)

то х = 0 и у = 0.

В самом деле, если, например, х =/= 0, то из (1) слeдует, что

а = - y/xb

А это противоречит тому, что векторы а и b неколлинеарны. Таким образом, х = 0.

Аналогично доказывается, что и у = 0.

Говорят, что вектор а является линейной комбинацией векторов a1, a2, a3, ..., an, если он представим в виде

а = x1a1+ x2a2+ x3a3+ ...+ xnan,

где x1 , x2 ,..., xn - некоторые числа.

Так, вектор а = 3a1 - 5a2 + 1/2 a3 есть линейная комбинация векторов a1, a2 и a3.

Теорема. Любой вектор m на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов а и b:

m = ха + уb. (2)

Если вектор m коллинеарен одному из векторов а и b (например, вектору а), то для некоторого числа х имеем

m = ха = ха + 0 • b.

Тем самым вектор m представлен в виде (2).

Если же вектор m не коллинеарен ни вектору а, ни вектору b (рис.), то, проведя через точку М прямые, параллельные [ОВ) и [ОА), имеем

$$ m = \vec{OE} + \vec{OF} $$

вектор m не коллинеарен ни вектору a, ни вектору b

Но тогда по признаку коллинеарности векторов существуют такие числа х и у, что \(\vec{OE}\)= ха, \(\vec{OF}\) = yb, откуда и вытекает равенство (2).

Докажем единственность такого представления. Пусть

m = x1a + у1b и m = x2a + у2b.

Тогда (x1 - x2)а + (у1 - у2)b = 0. Но так как векторы а и b неколлинеарны, то равенство возможно только при x1 = x2 и у1 = у2. Единственность доказана.

Если вектор представлен в виде линейной комбинации каких-то векторов, то говорят, что вектор разложен по этим векторам.

Базисом на плоскости называются два любых неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Пусть e1 и e2 - некоторый базис и а - произвольный вектор, тогда по доказанной теореме существуют два числа х и у такие, что

а = хe1 + уe2.

Числа х и у называются координатами вектора а в данном базисе. В этом случае пишут а = (х; у).

Задача 1. Точки К и L-середины сторон ВС и CD параллелограмма ABCD. Разложить вектор ВС по векторам а = \(\vec{AK}\) и b = \(\vec{AL}\).

Точки К и L-середины сторон ВС и CD параллелограмма ABCD

Из ΔАКВ (рис.) имеем

$$ \vec{AB} + \frac{\vec{BC}}{2} = a \;\;\;(1) $$

Из ΔADL получаем \(\vec{AD} + \vec{DL} = b\). Так как \(\vec{AD}=\vec{BC},\;\;\vec{DL}=\frac{\vec{AB}}{2}\), то


$$ \vec{BC} + \frac{\vec{AB}}{2} = b \;\;\;(2) $$

Из равенства (1) следует:

$$ \frac{\vec{AB}}{2} + \frac{\vec{BC}}{4} = \frac{a}{2} \Rightarrow \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{a}{2} - \frac{\vec{BC}}{4} \;\;\;(3) $$

Подставив \(\frac{\vec{AB}}{2}\) из (3) в (2), получим:

$$ \vec{BC} +\frac{a}{2}-\frac{\vec{BC}}{4}=b \Rightarrow \frac{3}{4}\vec{BC}=b-\frac{a}{2} \\
\Rightarrow \vec{BC}=\frac{4}{3}b -\frac{2}{3}a= -\frac{2}{3}a + \frac{4}{3}b $$


Задача 2. Дан ΔАВС, \(D \in [ВС]\), |BD| = |DC|, [ВМ] - медиана ΔАВС. Найти координаты вектора ВМ, если направленные отрезки \(\vec{BA}\) и \(\vec{BD}\) определяют базисные векторы.

Достроим ΔАВС до параллелограмма ABCN (рис.).

Тогда \(\vec{BN}\) = 2\(\vec{BM}\) = \(\vec{BA}\) + \(\vec{BC}\). Обозначив \(\vec{BA}\) = e1, \(\vec{BD}\) = e2, получим

2\(\vec{BM}\)= 1 • e1 + 2 • e2,

откуда

\(\vec{BM}\) = 1/2e1 + 1 • e2.

Итак, в данном базисе \(\vec{BM}\) = (1/2; 1).



Другие материалы по теме: Векторы

  • Умножение вектора на число
  • Векторы. Основные понятия
  • Сложение и вычитание векторов
  • Коллинеарные вектора
  • Компланарные вектора
  • Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
  • Проекция вектора на ось. Два свойства проекции
  • Свойства скалярного произведения векторов
  • Формула угла между векторами
  • Смешанное произведение трех векторов и его свойства