Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам

Пусть векторы а и b неколлинеарны. Тогда, если числа х и у удовлетворяют условию

х • а + у • b = 0, (1)

то х = 0 и у = 0.

В самом деле, если, например, х =/= 0, то из (1) слeдует, что

а = - ^y/_x • b

А это противоречит тому, что векторы а и b неколлинеарны. Таким образом, х = 0.

Аналогично доказывается, что и у = 0.

Говорят, что вектор а является линейной комбинацией векторов a₁, a₂, a₃, ..., a_n, если он представим в виде

а = x₁a₁+ x₂a₂+ x₃a₃+ ...+ x_na_n,

где x₁ , x₂ ,..., x_n - некоторые числа.

Так, вектор а = 3a₁ - 5a₂ + ¹/₂ a₃ есть линейная комбинация векторов a₁, a₂ и a₃.

Теорема. Любой вектор m на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов а и b:

m = х • а + у • b. (2)

Если вектор m коллинеарен одному из векторов а и b (например, вектору а), то для некоторого числа х имеем

m = х • а = х • а + 0 • b.

Тем самым вектор m представлен в виде (2).

Если же вектор m не коллинеарен ни вектору а, ни вектору b (рис.), то, проведя через точку М прямые, параллельные [ОВ) и [ОА), имеем

$$ m = \vec{OE} + \vec{OF} $$

Но тогда по признаку коллинеарности векторов существуют такие числа х и у, что \(\vec{OE}\)= ха, \(\vec{OF}\) = yb, откуда и вытекает равенство (2).

Докажем единственность такого представления. Пусть

m = x₁a + у₁b и m = x₂a + у₂b.

Тогда (x₁ - x₂)а + (у₁ - у₂)b = 0. Но так как векторы а и b неколлинеарны, то равенство возможно только при x₁ = x₂ и у₁ = у₂. Единственность доказана.

Если вектор представлен в виде линейной комбинации каких-то векторов, то говорят, что вектор разложен по этим векторам.

Базисом на плоскости называются два любых неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Пусть e₁ и e₂ - некоторый базис и а - произвольный вектор, тогда по доказанной теореме существуют два числа х и у такие, что

а = хe₁ + уe₂.

Числа х и у называются координатами вектора а в данном базисе. В этом случае пишут а = (х; у).

Задача 1. Точки К и L-середины сторон ВС и CD параллелограмма ABCD. Разложить вектор ВС по векторам а = \(\vec{AK}\) и b = \(\vec{AL}\).

Из ΔАКВ (рис.) имеем

$$ \vec{AB} + \frac{\vec{BC}}{2} = a \;\;\;(1) $$

Из ΔADL получаем \(\vec{AD} + \vec{DL} = b\). Так как \(\vec{AD}=\vec{BC},\;\;\vec{DL}=\frac{\vec{AB}}{2}\), то

$$ \vec{BC} + \frac{\vec{AB}}{2} = b \;\;\;(2) $$

Из равенства (1) следует:

$$ \frac{\vec{AB}}{2} + \frac{\vec{BC}}{4} = \frac{a}{2} \Rightarrow \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{a}{2} - \frac{\vec{BC}}{4} \;\;\;(3) $$

Подставив \(\frac{\vec{AB}}{2}\) из (3) в (2), получим:

$$ \vec{BC} +\frac{a}{2}-\frac{\vec{BC}}{4}=b \Rightarrow \frac{3}{4}\vec{BC}=b-\frac{a}{2} \\
\Rightarrow \vec{BC}=\frac{4}{3}b -\frac{2}{3}a= -\frac{2}{3}a + \frac{4}{3}b $$

Задача 2. Дан ΔАВС, \(D \in [ВС]\), |BD| = |DC|, [ВМ] - медиана ΔАВС. Найти координаты вектора ВМ, если направленные отрезки \(\vec{BA}\) и \(\vec{BD}\) определяют базисные векторы.

Достроим ΔАВС до параллелограмма ABCN (рис.).

Тогда \(\vec{BN}\) = 2\(\vec{BM}\) = \(\vec{BA}\) + \(\vec{BC}\). Обозначив \(\vec{BA}\) = e₁, \(\vec{BD}\) = e₂, получим

2\(\vec{BM}\)= 1 • e₁ + 2 • e₂,

откуда

\(\vec{BM}\) = ¹/₂ • e₁ + 1 • e₂.

Итак, в данном базисе \(\vec{BM}\) = (¹/₂; 1).