Вычислить радиусы оснований усеченного конуса, описанного около шара радиуса R, зная, что отношение полной поверхности усеченного конуса к поверхности шара равно т.

Пусть S - полная поверхность конуса, S1 - поверхность шара, r1 и r - радиусы верхнего и нижнего оснований конуса, l - длина его образующей. Пусть далее CMDL-трапеция, полученная в осевом сечении конуса, О - центр вписанного шара, AB ⊥ LD и OF ⊥ MD.


Имеем:

Легко видеть, что AM =MF и BD = FD, так как О - центр вписанного в трапецию круга, поэтому

l = r + r1 (2)

Воспользовавшись этим равенством, из равенства (1) получим:

l2 + r2 + r12 = 4mR2. (3)

Из треугольника MED, далее, следует:

l2 = ( r - r1)2 + 4R2. (4)

Исключая l из равенств (2) и (4), найдем:

r r1 = R2. (5)

С помощью этого равенства, исключив l из (2) и (3), мы получим:

r2 + r12= R2(2m-1). (6)

Решив теперь систему (5), (6), найдем:

r = R/2( 2т + 1 + 2т -3);

r1 = R/2( 2т + 1 -2т -3);

Таким образом, при т < 3/2задача не имеет решения; при m = 3/2 усеченный конус превращается в цилиндр.





Похожие примеры: