Даны две концентрические сферы радиусов r и R (R > r ). При каком соотношении между R и r можно внутри большей сферы построить правильный тетраэдр так, чтобы три вершины его основания лежали на большей сфере, а три боковые грани касались меньшей сферы?

Допустим, что задача разрешима. Проведем плоскость A1B1C1 (см. рис. а), касающуюся меньшего шара и параллельную основанию AВС данного тетраэдра. Тетраэдр SA1B1C1 описан около шара радиуса r. Легко найти, что высота его SQ1 = 4r (см. задачу 249).


Пусть длина ребра тетраэдра SABC равна х. Тогда отрезок AQ = x 3/3, а высота SQ = x 6/3 .

Далее (см. рис. б) имеем QO = x6/3 - 3r и из прямоугольного треугольника AQO следует, что

Решив квадратное уравнение, найдем

x1,2 = r6 ± R2- 3r2.

В этой формуле следует взять лишь корень со знаком плюс, ибо SA во всяком случае больше, чем 3r, а 3r > r6 .

Очевидно, что задача возможна при условии R >3 r