Все три плоских угла некоторого трехгранного угла являются острыми. Один из них равен α; двугранные углы, прилежащие к этому плоскому углу, равны, соответственно, β и γ. Найти два других плоских угла.

Из некоторой точки S, отличной от вершины С и лежащей на том из ребер трехгранного угла, которое не является стороной плоского угла α, опустим перпендикуляры SB и SD на стороны указанного плоского угла и перпендикуляр SA на соответствующую грань.

Обозначим искомые углы через β₁ и γ₁:

∠SCB = γ₁, ∠SCD = β₁.

Пусть, далее, ∠АСВ = α', ∠ACD = α". Полагая СА = а, из прямоугольных треугольников СВА, SBA и SBC находим:

Аналогично получаем:

tgβ₁ = sec β tg α".

Задача свелась, следовательно, к нахождению tg α' и tg α". Имеем

α' + α" = α

Вычисляя разными способами отрезок SA, находим:

SA = a sin α' tg γ

и

SA = a sin α"tg β.

Отсюда sin α' = sin α" tg βctg γ и, следовательно,

В результате, разделив на cos α' обе части последнего равенства, получаем: