Найти поверхность правильной n-угольной пирамиды объема V, если радиус круга, вписанного в основание, равен радиусу круга, описанного вокруг сечения, параллельного основанию и отстоящего от основания на расстоянии h.

Пусть Н - высота пирамиды, х - высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, R - радиус круга, вписанного в основание, r - радиус круга, описанного около основания, а - сторона основания.

Из подобия треугольников СА₁В₁ и CAB получаем:

Но из \(\Delta\)ADB имеем , и поэтому

Так как, далее, для площади основания и объема имеем следующие формулы:

Подставляя сюда найденное выражение для H, находим:

Так как, далее, х = √ R²+ H² и ^a/₂ = rsin ^π/_n, то боковая поверхность равна

n ¹/₂ xa = nr sin ^π/_n√ R²+ H²

или окончательно