Окружность разделена произвольным образом на четыре части, и середины получающихся дуг соединены отрезками прямых. Показать, что среди этих отрезков два будут перпендикулярны между собой.

Пусть В1 , В2, В3, В4 — середины дуг А1А2, А2А3, A3A4, A4A1.


Пусть αi — центральный угол, соответствующий дуге Ai Bi (i = 1, 2, 3, 4). Обозначим через φ угол, образованный отрезками В1В3 и В2В4. Тогда

а так как

2α1 + 2α2 + 2α3 + 2α4 = 2π,

то φ = π/2