Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.

Пусть BD, BE и BF суть соответственно высота, биссектриса и медиана в
\(\Delta\)ABC. Предположим, что АВ < ВС.

Тогда

∠A > ∠C, ∠CBD > ∠ABD,

откуда

∠CBD > ¹/₂( ∠ABD + ∠CBD) = ¹/₂∠В,

т. е. ∠CBD > ∠СВЕ. Значит, биссектриса BE проходит внутри ∠CBD и точка Е лежит между D и С.

Далее, ^AE/_EC = ^AB/_BC< 1, AE < EC, откуда

AE < ¹/₂ (AE + EC) = ¹/₂ AC,

т. e. AE < AF. Значит, точка F лежит между E и С. Таким образом, точка Е лежит между D и F, что и требовалось доказать.