Если М - середина ВВ₁, то A₁||CK. Следовательно, искомый угол равен углу MA₁D.
С другой стороны, плоскость A₁DM параллельна СК, значит, расстояние между СК и A₁D равно расстоянию от точки К до плоскости A₁DM.

Обозначим искомое расстояние через x, а искомый угол - через \(\phi\). Тогда имеем

$$ V_{A_1MDK}=\frac{1}{3}S_{A_1MD}x =\frac{1}{3}S_{A_1KD}a =\frac{a^3}{12} $$

Отсюда \(x = \frac{a^3}{4S_{A_1MD}}\)

Найдем стороны \(\Delta A_1MD\):

$$ |A_1D|=a\sqrt2, \;\;\;|A_1M|=\frac{a\sqrt5}{2}, \;\;\;|DM|=\frac{3}{2}a $$

По теореме косинусов найдем \(cos\phi =\frac{1}{\sqrt{10}}\); таким образом,

$$ S_{A_1MD} = \frac{3}{4}a^2, \;\;\; x=\frac{a}{3} $$

Ответ: \(arccos\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{a}{3} \)