V = S • H

1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра, по условию Н =3R.

2) Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно радиусу вписанной в треугольник АВС окружности, т.е. r = OP, и по условию равно √3.

3) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. R = 2r, тогда R = 2√3.

4) найдем сторону вписанного правильного треугольника по формуле a = R√3, a = 2√3 • √3 = 6.

5) найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника: \( S=\frac{a^2 \sqrt3}{4}=\frac{6^2 \sqrt3}{4}=9\sqrt3 \)

6) вычислим объём призмы: V = S • H =S•3•R = 9√3 • 3 • 2√3 = 162.

Ответ: 162.