1) Так как цилиндр вписан в призму, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание цилиндра вписано в основание призмы.

2) по условию радиус цилиндра r равен 3, тогда \(R=\frac{2r}{\sqrt3}, R=2\sqrt3\).

3) сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, т.е. a = R = 2√3.

4) по условию площадь призмы равна 54√3, т.е. $$P_{осн}.\cdot Н + 2 S_{осн}=54\sqrt3 $$

5) найдем периметр основания и его площадь: Р = 6 • a = 6 • 2√3 = 12√3. $$ S_{осн} = \frac{3\sqrt3}{2}a^2 = \frac{3\sqrt3}{2}\cdot (2\sqrt3)^2 = 18\sqrt3 $$

6) подставим полученные значения в формулу \(P_{осн}.\cdot Н + 2 S_{осн}=54\sqrt3\) и получим \(Н = (54\sqrt3 – 36\sqrt3): 12\sqrt3 = 1,5\).

Ответ: 1,5