Из точки, взятой на ребре правильной треугольной призмы со стороной основания а, проведены две плоскости. Одна проходит через сторону нижнего основания призмы под углом α к последнему, а другая — через параллельную ей сторону верхнего основания под углом β к нему. Определить объем призмы и сумму площадей полученных сечений.

Имеем (рис.) и H = BB₁= BD + DB₁.

Из треугольников BED и B₁E₁D (Е и Е₁-середины АС и A₁C₁) имеем

Сечение ADC проектируется на плоскость нижнего основания треугольником ABC. По доказанному (см. предварительное замечание) площадь S сечения ADC и площадь треугольника ABC, т.е. S_ocн. связаны соотношением S_ocн. = S cos α, так что

Таким же образом (проектируя сечение A₁DC₁ на верхнее основание), найдем, что площадь S’ сечения A₁DC₁ равна

Следовательно,