Сфера и шар
Множество всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии R от данной точки С, называется сферой радиуса R с центром в точке С (рис. 211).
Другими словами, сфера радиуса R с центром в точке С - это множество всех точек М пространства, удовлетворяющих условию
|CM| = R. (1)
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что длина диаметра сферы радиуса R равна 2R.
Если в пространстве задана некоторая прямоугольная декартова система кородинат и
(а; b; с) - координаты точки С, а (х; у; z) - координаты точки М, то условие (1) принимает вид
√(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R.
Отсюда следует, что сфера радиуса R с центром в точке С (а; b; с) имеет уравнение
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 (2)
B частности, сфера радиуса R с центром в начале координат имеет уравнение
х2 + у2 + z2 = R2 (3)
Задача 1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим
х2 + у2 + z2 = 25.
Задача 2. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; -3; 5) и радиусом, равным 6.
Подставив значение координат точки С и значение радиуса в уравнение (2), получим
(x - 2)2 + (y + 3)2 + (z - 5)2 = 36.
Задача 3. Найти центр и радиус сферы
(х + 4)2 + (y - 3)2 + z2 =100.
Сравнивая данное уравнение с уравнением сферы (2), видим, что
а = - 4, b = 3, с = 0, R = 10. Следовательно, С(-4; 3; 0), R = 10.
Задача 4. Доказать, что уравнение
х2 + у2 + z2 - 2х + 4у - 6z + 5 = 0
является уравнением сферы.
Преобразуем левую часть данного уравнения, выделив квадраты двучленов, содержащих соответственно х, у и z:
х2 - 2х + у2 + 4у + z2 - 6z + 5 =
= (x - 1)2 - 1 + (y + 2)2 - 4 + (z - 3)2 - 9 + 5 =
= (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2-9.
Следовательно, данная поверхность имеет уравнение
(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 9.
Это уравнение представляет собой уравнение сферы с центром в точке С(1; -2; 3) и радиусом R = 3.
Множество всех точек пространства, расстояние которых от данной точки С не превосходит данного числа R, называется шаром радиуса R с центром в точке С.
Иначе, шар радиуса R с центром в точке С - это множество всех точек М пространства, удовлетворяющих условию
|CM| < R.
В координатах это условие имеет вид
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 < R2.
Сфера радиуса R с центром в точке С называется поверхностью соответствующего шара. Про нее говорят, что она ограничивает шар радиуса R с центром в точке С.
Теорема. Через любые четыре точки, не лежащие в одной плоскости, проходит и притом единственная сфера.
Пусть А, В, D, Е четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Достаточно доказать, что существует и притом единственная точка, С, равноудаленная от четырех данных точек. Очевидно, точка С и будет центром сферы, проходящей через данные точки.
Через точки А, В, D, которые, очевидно, не лежат на одной прямой, проходит единственная плоскость р и единственная окружность. Пусть С1 - центр этой окружности. Очевидно, множество всех точек пространства, равноудаленных от трех точек А, В, D - это перпендикуляр l к плоскости р, проходящий через точку C1 (рис. 212).
Рассмотрим теперь точки А и Е. Множество всех точек пространства, равноудаленных от точек А и Е, - это плоскость q, перпендикулярная прямой АЕ и проходящая через середину отрезка АЕ. Плоскость q обязательно пересечет прямую l , так как точка Е не лежит в плоскости р. Очевидно, что точка С, являющаяся пересечением плоскости q с прямой l, будет равноудаленной от всех четырех данных точек А, В, D, Е. Из построения видно, что точка С - единственная точка пространства, удовлетворяющая этому условию.