Объем шара и его частей
Шаровый сектор
Определение. Тело, получаемое от вращения (черт. 146) кругового сектора (COD) вокруг диаметра (АВ), не пересекающего ограничивающую его дугу, называется шаровым сектором. Это тело ограничено боковыми поверхностями двух конусов и поверхностью шарового пояса; последняя называется основанием шарового сектора. Один из радиусов кругового сектора может совпадать с осью вращения; например, сектор АОС, вращаясь вокруг АО, производит шаровой сектор ОСАС1, ограниченный боковой поверхностью конуса и сегментной поверхностью. Для нахождения объёма шарового сектора и целого шара мы предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Если \(\Delta\)ABC (черт. 147) вращается вокруг оси ху, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через его вершину А, но не пересекает стороны ВС, то объём тела, получаемого при этом вращении, равен произведению поверхности, образуемой противоположной стороной ВС, на одну треть высоты h, опущенной на эту cторону.
При доказательстве рассмотрим три случая:
1) Ось совпадает со стороной АВ (черт. 148).
В этом случае искомый объём равен сумме объёмов двух конусов, получаемых вращением прямоугольных треугольников BCD и DCA.
Первый объём равен 1/3 π CD2 • DB, а второй 1/3 π CD2 • DA; поэтому объём, образованный вращением ABC, равен 1/3 π CD2 (DB+DA) = 1/3 π CD • CD • BA
Произведение CD • BA равно ВС • h, так как каждое из этих произведений выражает двойную площадь /\ ABC ; поэтому
объём ABC = 1/3 π CD • BC• h.
Но произведение π CD • BC равно боковой поверхности конуса BDC; значит,
объём ABC = (поверхность BC)• 1/3 h.
2) Ось не совпадает с АВ и не параллельна ВС (черт. 149).
В этом случае искомый объём равен разности объёмов тел, производимых вращением треугольников АМС и АМВ. По доказанному в первом случае
объём AMС = 1/3 h • (поверхность МС),
объём AMB = 1/3 h • (поверхность MB);
следовательно,
объём ABC = 1/3 h • (поверхность МС-поверхность МВ) = 1/3 h • (поверхность ВС).
3) Ось параллельна стороне ВС (черт. 150).
Тогда искомый объём равен объёму, производимому вращением DEBC, без суммы объёмов, производимых вращением треугольников АЕВ и ACD;
первый из них равен π DC2 • ED;
второй 1/3 π EB2 • EA
и третий 1/3 π DC2 • AD.
Приняв теперь во внимание, что ЕВ = DC, получим:
объём АВС = π DC2 [ED - 1/3(ЕА + AD)] = π DC2( ED -1/3ED ) = 2/3 • π DC2• ED.
Произведение 2π DC• ED выражает боковую поверхность цилиндра, образуемую стороной ВС; поэтому
объём АBС = (поверхность BC)• 1/3DC = (поверхность BC) • 1/3 h.
Объем шарового сектора
Определение. За величину объёма шарового сектора, получаемого вращением вокруг диаметра (ЕF, черт. 151) кругового сектора (AOD), принимается предел, к которому стремится объём тела, образуемого вращением многоугольного сектора, который ограничен крайними радиусами (ОА и OD) и правильной ломаной линией (ABCD), вписанной в дугу кругового сектора, когда число сторон её неограниченно увеличивается.
Теорема. Объём шарового сектора равен произведению поверхности соответствующего шарового пояса (или соответствующей сегментной поверхности) на треть радиуса.
Пусть шаровой сектор производится вращением вокруг диаметра ЕF (черт. 151) сектора AOD.
Определим его объём V. Для этого впишем в дугу AD правильную ломаную линию ABCD с произвольным числом сторон. Многоугольный сектор OABCD образует при вращении некоторое тело, объём которого обозначим буквой V1. Объём этот есть сумма объёмов тел, получаемых вращением треугольников ОАВ, ОВС, OCD вокруг оси ЕF.
Применим к этим объёмам лемму, доказанную ранее, причём заметим, что высоты треугольников равны апофеме а вписанной ломаной. Согласно этой лемме будем иметь:
V1= (поверхность АВ) • a/3+ (поверхность ВС) • a/3 + ... = (поверхность ABCD) • a/3 .
Вообразим теперь, что число сторон ломаной линии неограниченно увеличивается. При этом условии поверхность ABCD стремится к пределу, именно к поверхности шарового пояса AD, а апофема а имеет пределом радиус R; следовательно,
V = пределу V1 = (поверхность пояса AD) • R/3.
Замечание. Теорема и её доказательство не зависят от того, будет ли один из радиусов кругового сектора совпадать с осью вращения или нет.
Объем сферы
Теорема. Объём шара равняется произведению его поверхности на треть радиуса.
Разбив полукруг ABCD (черт. 152), производящий шар, на какие-нибудь круговые секторы АОВ, ВОС, COD, мы заметим, что объём шара можно рассматривать как сумму объёмов шаровых секторов, производимых вращением этих круговых секторов.
Так как согласно предыдущей теореме
объём АОВ = (поверхность АВ) • 1/3 R,
объём ВОС = (поверхность BC) • 1/3 R,
объём COD = (поверхность CD) • 1/3 R,
то
объём шара = (поверхность АВ + поверхность ВС + поверхность CD)• 1/3 R =
= (поверхность ABCD)• 1/3 R.
Замечание. Можно и непосредственно рассматривать объём шара как объём тела, образованного вращением вокруг диаметра кругового сектора, центральный угол которого равен 180°.
В таком случае объём шара можно получить как частный случай объёма шарового сектора, у которого шаровой пояс составляет всю поверхность шара.
В силу предыдущей теоремы объём шара будет при этом равен его поверхности, умноженной на одну треть радиуса.
Следствие 1. Обозначим высоту шарового пояса или сегментной поверхности через H, радиус шара - через R, а диаметр - через D; тогда поверхность пояса или сегментная поверхность выразится формулой 2πRH, а поверхность шара - формулой 4πR2; поэтому
объём шарового сектора = 2πRH• 1/3 R= 2/3πR2H;
объём шара = 4πR2• 1/3 R= 4/3πR3 1)
или
объём шара = 4/3π ( D/2 )3 = 1/6πD3.
Отсюда видно, что объёмы шаров относятся, как кубы их радиусов или диаметров.
Объём шара может быть выведен (не вполне, впрочем, строго) следующим простым рассуждением. Вообразим, что вся поверхность шара разбита на очень малые участки и что все точки контура каждого участка соединены радиусами с центром шара. Тогда шар разделится на очень большое число маленьких тел, из которых каждое можно рассматривать как пирамиду с вершиной в центре шара. Так как объём пирамиды равен произведению поверхности основания на третью часть высоты (которую можно принять равной радиусу шара), то объём шара, равный, очевидно, сумме объёмов всех пирамид, выразится так:
объём шара = S • 1/3 R,
где S-сумма поверхностей оснований всех пирамид. Но эта сумма поверхностей оснований должна составить поверхность шара, и, значит,
объём шара = 4πR2• 1/3 R = 4/3πR3.
Таким образом, объём шара может быть найден посредством формулы его поверхности. Обратно, поверхность шара может быть найдена с помощью формулы его объёма из равенства:
S • 1/3 R = 4/3πR3 откуда S = 4πR2.
Следствие 2. Поверхность и объём шара соответственно составляют 2/3 полной поверхности и объёма цилиндра, описанного около шара.
Действительно, у цилиндра, описанного около шара, радиус основания равен радиусу шара, а высота равна диаметру шара; поэтому для такого цилиндра
полная поверхность описанного цилиндра = 2πR• 2R + 2πR2 = 6πR2 ,
объём описанного цилиндра = πR2 • 2R = 2πR3.
Отсюда видно, что 2/3 полной поверхности этого цилиндра равны 4πR2, т. е. равны поверхности шара, а 2/3 объёма цилиндра составляют 4/3 πR3, т. е. объём шара.
Это предложение было доказано Архимедом (в III в. до н. э.). Архимед выразил желание, чтобы чертёж этой теоремы был изображён на его гробнице, что и было исполнено римским военачальником Марцеллом (Ф. Кэджори, История элементарной математики).
Предлагаем доказать, что поверхность и объём шара составляют 4/9 соответственно полной поверхности и объёма описанного конуса, у которого образующая равна диаметру основания. Соединяя это предложение с указанным в следствии 2, мы можем написать такое равенство, где Q обозначает поверхность или объём:
Q шара/4 = Q цилиндра/6 = Q конуса/9
Определения. 1) Часть шара (АСС’, черт. 154), отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью (СС’), называется шаровым сегментом. Круг сечения называется основанием сегмента, а отрезок Ат радиуса, перпендикулярного к основанию, - высотой сегмента.
2) Часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями (СС’ и DD’), называется шаровым слоем. Круги параллельных сечений называются основаниями слоя, а расстояние тп между ними-его высотой.
Оба эти тела можно рассматривать как происходящие от вращения вокруг диаметра АВ части круга АтС или части СтпD.
Теорема. Объём шарового сегмента равен объёму цилиндра, у которого радиус основания есть высота сегмента, а высота равна радиусу шара, уменьшенному на треть высоты сегмента, т.е.
V = πH2(R - 1/3H)
где H есть высота сегмента, а R - радиус шара.
Объём шарового сегмента, получаемого вращением вокруг диаметра АD (черт. 155) части круга АСВ, найдётся, если из объёма шарового сектора, получаемого вращением кругового сектора АОВ, вычтем объём конуса, получаемого вращением \(\Delta\)СОB.
Первый из них равен 2/3πR2H, а второй 1/3πCB2.
Так как СВ есть средняя пропорциональная между АС и СD, то СВ2 = H(2R-H), поэтому
СВ2•СО = H(2R-H)(R-H) = 2R2H - RН2 - 2RН2+ Н3 = 2R2H - 3Н2R + Н3;
следовательно,
объём АВВ1 = объёму ОВАВ1 - объём ОВВ1 = 2/3πR2H - 1/3πCB2•СО =
= 2/3πR2H - 2/3πR2H + πRH2- 1/3πH3 = πH2(R - 1/3H)