Объем прямой призмы

1. Объём прямой треугольной призмы.

Пусть требуется найти объём прямой треугольной призмы, площадь основания которой равна S, а высота равна h = AA’ = BB’ = CC’ (рис. 306).

Начертим отдельно основание призмы, т. е. треугольник АBС (рис. 307, а), и достроим его до прямоугольника, для чего через вершину В проведём прямую КМ || АС и из точек A и С опустим на эту прямую перпендикуляры АF и СЕ. Получим прямоугольник АСЕF. Проведя высоту ВD треугольника АBС, увидим, что прямоугольник АСЕF разбился на 4 прямоугольных треугольника. Причём \(\Delta\)ВСЕ = \(\Delta\)BCD и \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Значит, площадь прямоугольника АСЕF вдвое больше площади треугольника АBС, т. е. равна 2S.

К данной призме с основанием АBС пристроим призмы с основаниями ВСЕ и BАF и высотой h (рис. 307, б). Получим прямоугольный параллелепипед с основанием АСЕF.

Если этот параллелепипед рассечём плоскостью, проходящей через прямые BD и BB’, то увидим, что прямоугольный параллелепипед состоит из 4 призм с основаниями BCD, ВСЕ, BАD и BAF.

Призмы с основаниями BCD и ВСЕ могут быть совмещены, так как основания их равны (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BСЕ) и также равны их боковые рёбра, являющиеся перпендикулярами к одной плоскости. Значит, объёмы этих призм равны. Также равны объёмы призм с основаниями BАD и BАF.

Таким образом, оказывается, что объём данной треугольной призмы с основанием АBС вдвое меньше объёма прямоугольного параллелепипеда с основанием АСЕF.

Нам известно, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту, т. е. в данном случае равен 2Sh. Отсюда объём данной прямой треугольной призмы равен Sh.

Объём прямой треугольной призмы равен произведению площади её основания на высоту.



2. Объём прямой многоугольной призмы.

Чтобы найти объём прямой многоугольной призмы, например пятиугольной, с площадью основания Sи высотой h, разобьём её на треугольные призмы (рис. 308).

Обозначив площади основания треугольных призм через S1, S2и S3, а объём данной многоугольной призмы через V, получим:

V = S1h + S2h + S3h, или

V = (S1 + S2 + S3)h.

И окончательно: V = Sh.

Таким же путём выводится формула объема прямой призмы, имеющей в основании любой многоугольник.

Значит, объём любой прямой призмы равен произведению площади её основания на высоту.



Объем прямоугольного параллелепипеда


Лемма 1. Объемы прямоугольных параллелепипедов, имеющих равные основания, относятся, как их высоты.

Если прямоугольные параллелепипеды имеют равные основания, то их можно вложить один в другой.

Пусть AG и AP (рис.) два таких параллелепипеда. Рассмотрим два случая.

1. Высоты BF и BN соизмеримы.

Пусть общая мера высот содержится m раз в BF и n раз в BN.

Проведем через точки деления ряд плоскостей, параллельных основанию.

Тогда параллелепипед AG разделится на m, а параллелепипед AP на n равных частей.

Таким образом мы получим:

\(\frac{BF}{BN}=\frac{m}{n}\) и \( \frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{m}{n} \)

Следовательно:

\( \frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{BF}{BN} \)

2. Высоты BF и BN несоизмеримы.

Разделим BN на n равных частей и одну часть отложим на BF столько раз, сколько можно.

Пусть 1/n доля BN содержится в BF более m раз, но менее m+1 раз.

Тогда, проведя попрежнему ряд плоскостей, параллельных основанию, мы разделим пар-д AP на n таких равных частей, каких в пар-де AG содержится более m, но менее m+1.

Следовательно:

прибл.отн. \(\frac{BF}{BN}=\frac{m}{n}\) и прибл.отн. \(\frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{m}{n}\)

Таким образом, приближенные отношения, вычисленные с произвольной, но одинаковой точностью, равны. А в этом и состоит равенство несоизмеримых отношений.



Лемма 2. Объемы прямоугольных параллелепипедов, имеющих равные высоты, относятся как площади их оснований.

Пусть (рис.) P и P1 два прямоугольных параллелепипеда. Обозначим неравные основания одного из них через a и b, а другого через a1 и b1.

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого высота такая же, как у данных тел, а основанием служит прямоугольник со сторонами a и b1.

У параллелепипедов P и Q передние грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут b и b1, и следовательно:

Объем P/Объем Q = b/b1 [1]

У параллелепипедов Q и P1 боковые грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут a и a1, и следовательно:

Объем Q/Объем P1 = a/a1 [2]

Перемножив равенства [1] и [2], найдем:

Объем P/Объем P1 = ab/a1b1

Так как ab выражает площадь основания пар-да P, а a1b1 - площадь основания пар-да P1, то лемма доказана.



Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Пусть (рис.) P есть прямоугольный параллелепипед, а P1 какая-нибудь кубическая единица.

Обозначим площадь основания и высоту первого через B и H, а второго через B1 и H1.

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого площадь основания B1, а высота H.

Сравнивая P с Q, а затем Q с P1, находим:

Об. P/Об. Q = B/B1 и об. Q/об. P1 = H/H1

Перемножив эти равенства, получим:

Об. P/Об. P1 = B/B1 * H/H1

Отношения, входящие в это равенство есть числа, выражающие объем, площадь основания и высоту данного параллелепипеда в соответствующих кубических, квадратных и линейных единицах. Поэтому последнее равенство можно выразить так:

Число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда, равно произведению чисел, выражающих площадь основания и высоту в соответствующих единицах.

Это выражают сокращенно так: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, т.е.

V = BH,

где под V, B и H разумеются числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту прямоугольного параллелепипеда.

Обозначая буквами a, b и с три измерения прямоугольного пар-да (выраженные в числах), можем написать:

V = abс

потому что площадь основания выражается произведением двух из этих измерений, а высота равна третьему измерению.

Следствия:

  1. Объем куба равен третьей степени его ребра.
  2. Отношение двух кубических единиц равно третьей степени отношения соответствующих линейных единиц. Так, отношение м3 к дм3 равно 103, т.е. 1000.



Объем любого параллелепипеда


Лемма. Наклонная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота - ее боковому ребру.

Через какую-нибудь точку a (рис.) одного из боковых ребер наклонной призмы A1d проведем перпендикулярное сечение abcde. Затем продолжим все боковые грани вниз, отложим aa1=AA1 и через точку a1 проведем перпендикулярное сечение a1b1с1d1e1.

Так как плоскости двух сечений параллельны, то части боковых ребер, заключенные между ними, равны, т.е.
bb1 = сс1 = dd1 = ee1 = aa1 = AA1.

Вследствие этого многогранник a1d есть прямая призма, у которой основанием служит перпендикулярное сечение, а высота (или, что то же самое, боковое ребро) равна боковому ребру наклонной призмы.

Докажем, что наклонная призма равновелика прямой призме.

Для этого предварительно убедимся, что многогранники aD и a1D1 равны.

Основания их abcde и a1b1с1d1e1 равны, как основания призмы a1d.

С другой стороны, отняв от обеих частей равенства A1A = a1a по одной и той же прямой A1a , получим aA = a1A1.

Подобно этому: bB = b1B1, сС = с1С1 и т.д.

Вообразим теперь, что многогранник aD вложен в a1D1 так, чтобы основания их совпали. Тогда боковые ребра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут.

Поэтому многогранник aD совместится с a1D1. Значит, эти тела равны.

Теперь заметим, что если от целого многогранника a1D , отнимем часть aD , то получим прямую призму. А если от того же многогранника отнимем часть a1D1, то получим наклонную призму.


Из этого следует, что эти две призмы равновелики, так как объемы их представляют собой разности объемов равных тел.



Теорема. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда прямоугольного, теперь докажем ее для параллелепипеда прямого, а потом наклонного.

1. Пусть (рис.) AC1 прямой пар-д, т.е. такой, у которого основание ABCD какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани - прямоугольники.

Возьмем в нем за основание грань AA1B1B. Тогда параллелепипед будет наклонный.

Рассматривая его, как частный случай наклонной призмы, мы, на основании леммы предыдущего параграфа, можем утверждать, что этот пар-д равновелик такому прямому, у которого основание есть перпендикулярное сечение MNPQ, а высота BC.

Четырехугольник MNPQ есть прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых двугранных углов. Поэтому прямой параллелепипед, имеющий это основание должен быть прямоугольным, и, следовательно, его объем равен произведению площади основания MNPQ на высоту BC.

Но площадь MNPQ равна MN * MQ. Значит:

Объем AC1 = MN * MQ * BC

Произведение MQ * BC выражает площадь параллелограмма ABCD. Поэтому:

Объем AC1 = (площ.ABCD ) * MN

2. Пусть (рис.) AC1 есть пар-д наклонный. Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение MNPQ, а высотой ребро BC.

Но, по доказанному, объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Значит:

Объем AC1 = (площ.MNPQ ) * BC

Если RS есть высота сечения MNPQ, то площадь MNPQ = MQ * RS. Поэтому:

Объем AC1 = MQ * RS * BC

Произведение BC * MQ выражает площадь параллелограмма ABCD. Следовательно:

Объем AC1 = (площ.ABCD ) * RS

Т.е. объем всякого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.



Следствие. Если V, B и H - числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту какого - нибудь паралллелепипеда, то можем написать:

V = BH