Объем параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда

Лемма 1. Объемы прямоугольных параллелепипедов, имеющих равные основания, относятся, как их высоты.

Если прямоугольные параллелепипеды имеют равные основания, то их можно вложить один в другой.

Пусть AG и AP (рис.) два таких параллелепипеда. Рассмотрим два случая.

1. Высоты BF и BN соизмеримы.

Пусть общая мера высот содержится m раз в BF и n раз в BN.

Проведем через точки деления ряд плоскостей, параллельных основанию.

Тогда параллелепипед AG разделится на m, а параллелепипед AP на n равных частей.

Таким образом мы получим:

\(\frac{BF}{BN}=\frac{m}{n}\) и \( \frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{m}{n} \)

Следовательно:

\( \frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{BF}{BN} \)

2. Высоты BF и BN несоизмеримы.

Разделим BN на n равных частей и одну часть отложим на BF столько раз, сколько можно.

Пусть 1/n доля BN содержится в BF более m раз, но менее m+1 раз.

Тогда, проведя попрежнему ряд плоскостей, параллельных основанию, мы разделим пар-д AP на n таких равных частей, каких в пар-де AG содержится более m, но менее m+1.

Следовательно:

прибл.отн. \(\frac{BF}{BN}=\frac{m}{n}\) и прибл.отн. \(\frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{m}{n}\)

Таким образом, приближенные отношения, вычисленные с произвольной, но одинаковой точностью, равны. А в этом и состоит равенство несоизмеримых отношений.

Лемма 2. Объемы прямоугольных параллелепипедов, имеющих равные высоты, относятся как площади их оснований.

Пусть (рис.) P и P₁ два прямоугольных параллелепипеда. Обозначим неравные основания одного из них через a и b, а другого через a₁ и b₁.

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого высота такая же, как у данных тел, а основанием служит прямоугольник со сторонами a и b₁.

У параллелепипедов P и Q передние грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут b и b₁, и следовательно:

Объем P/Объем Q = b/b1 [1]

У параллелепипедов Q и P₁ боковые грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут a и a₁, и следовательно:

Объем Q/Объем P₁ = a/a1 [2]

Перемножив равенства [1] и [2], найдем:

Объем P/Объем P₁ = ab/a₁b₁

Так как ab выражает площадь основания пар-да P, а a₁b₁ - площадь основания пар-да P₁, то лемма доказана.

Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Пусть (рис.) P есть прямоугольный параллелепипед, а P₁ какая-нибудь кубическая единица.

Обозначим площадь основания и высоту первого через B и H, а второго через B₁ и H₁.

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого площадь основания B₁, а высота H.

Сравнивая P с Q, а затем Q с P₁, находим:

Об. P/Об. Q = B/B1 и об. Q/об. P1 = H/H1

Перемножив эти равенства, получим:

Об. P/Об. P1 = B/B1 * H/H1

Отношения, входящие в это равенство есть числа, выражающие объем, площадь основания и высоту данного параллелепипеда в соответствующих кубических, квадратных и линейных единицах. Поэтому последнее равенство можно выразить так:

Число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда, равно произведению чисел, выражающих площадь основания и высоту в соответствующих единицах.

Это выражают сокращенно так: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, т.е.

V = BH,

где под V, B и H разумеются числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту прямоугольного параллелепипеда.

Обозначая буквами a, b и с три измерения прямоугольного пар-да (выраженные в числах), можем написать:

V = abс

потому что площадь основания выражается произведением двух из этих измерений, а высота равна третьему измерению.

Следствия:

1. Объем куба равен третьей степени его ребра.
   
2. Отношение двух кубических единиц равно третьей степени отношения соответствующих линейных единиц. Так, отношение м3 к дм3 равно 10³, т.е. 1000.

Объем любого параллелепипеда

Лемма. Наклонная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота - ее боковому ребру.

Через какую-нибудь точку a (рис.) одного из боковых ребер наклонной призмы A₁d проведем перпендикулярное сечение abcde. Затем продолжим все боковые грани вниз, отложим aa₁=AA₁ и через точку a₁ проведем перпендикулярное сечение a₁b₁с₁d₁e₁.

Так как плоскости двух сечений параллельны, то части боковых ребер, заключенные между ними, равны, т.е.
bb₁ = сс₁ = dd₁ = ee₁ = aa₁ = AA₁.

Вследствие этого многогранник a₁d есть прямая призма, у которой основанием служит перпендикулярное сечение, а высота (или, что то же самое, боковое ребро) равна боковому ребру наклонной призмы.

Докажем, что наклонная призма равновелика прямой призме.

Для этого предварительно убедимся, что многогранники aD и a₁D₁ равны.

Основания их abcde и a₁b₁с₁d₁e₁ равны, как основания призмы a₁d.

С другой стороны, отняв от обеих частей равенства A₁A = a₁a по одной и той же прямой A₁a , получим aA = a₁A₁.

Подобно этому: bB = b₁B₁, сС = с₁С₁ и т.д.

Вообразим теперь, что многогранник aD вложен в a₁D₁ так, чтобы основания их совпали. Тогда боковые ребра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут.

Поэтому многогранник aD совместится с a₁D₁. Значит, эти тела равны.

Теперь заметим, что если от целого многогранника a₁D , отнимем часть aD , то получим прямую призму. А если от того же многогранника отнимем часть a₁D₁, то получим наклонную призму.

Из этого следует, что эти две призмы равновелики, так как объемы их представляют собой разности объемов равных тел.

Теорема. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда прямоугольного, теперь докажем ее для параллелепипеда прямого, а потом наклонного.

1. Пусть (рис.) AC₁ прямой пар-д, т.е. такой, у которого основание ABCD какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани - прямоугольники.

Возьмем в нем за основание грань AA₁B₁B. Тогда параллелепипед будет наклонный.

Рассматривая его, как частный случай наклонной призмы, мы, на основании леммы предыдущего параграфа, можем утверждать, что этот пар-д равновелик такому прямому, у которого основание есть перпендикулярное сечение MNPQ, а высота BC.

Четырехугольник MNPQ есть прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых двугранных углов. Поэтому прямой параллелепипед, имеющий это основание должен быть прямоугольным, и, следовательно, его объем равен произведению площади основания MNPQ на высоту BC.

Но площадь MNPQ равна MN * MQ. Значит:

Объем AC1 = MN * MQ * BC

Произведение MQ * BC выражает площадь параллелограмма ABCD. Поэтому:

Объем AC₁ = (площ.ABCD ) * MN

2. Пусть (рис.) AC₁ есть пар-д наклонный. Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение MNPQ, а высотой ребро BC.

Но, по доказанному, объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Значит:

Объем AC₁ = (площ.MNPQ ) * BC

Если RS есть высота сечения MNPQ, то площадь MNPQ = MQ * RS. Поэтому:

Объем AC1 = MQ * RS * BC

Произведение BC * MQ выражает площадь параллелограмма ABCD. Следовательно:

Объем AC₁ = (площ.ABCD ) * RS

Т.е. объем всякого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Следствие. Если V, B и H - числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту какого - нибудь паралллелепипеда, то можем написать:

V = BH

Задача. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна S. Площади диагональных сечений равны S₁ и S₂. Найти объем параллелепипеда.

Для нахождения объема параллелепипеда нужно найти его высоту Н (рис. 242).

Обозначим длины диагоналей основания через d₁ и d₂. Тогда

d₁•H = S₁, d₂•H = S₂, d₁• d₂ = 2S.

Из этих уравнений находим

$$ \frac{S_1}{H}\cdot \frac{S_2}{H} = 2S, \;\; H=\sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}} $$

Следовательно,

$$ V=S\cdot H = S\sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}=\sqrt{\frac{S\cdot S_1\cdot S_2}{2}} $$